CLAUDE-PAUL BRUTER

LA CONSTRUCTION DES NOMBRES

Ce volume a été établi à partir de celui de l'édition Ellipses 2000

Mise sur le réseau Interne
avril 2001

Copyright de la présente édition, éditions VIGDOR, 2001
ISBN 2-910243-84- 2
Publication communiquée au Dépôt Légal et à la B.N.F, avril 2001

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TABLE DES MATIÈRES

Avant-Propos

Chapitre I Une activité fondatrice des mathématiques : la représentation

I.1 Le défi majeur
I.2 La représentation : une activité fondamentale de l'être vivant
I.3 Le nombre en tant que représentation
I.4 Conséquences de la conception spatiale du nombre
I.4.1 Préliminaires
I.4.2 Regard sur la notion d'extension

Chapitre II Les nombres naturels

II.1 Aperçu historique
II.2 Construction des entiers naturels par extension
II.3 Premiers commentaires sur cette construction
II.4 Quelques aspects fonctionnels et sémantiques du nombre naturel
II.5 Présence des moyennes pythagoriciennes
II.6 Une classe de problèmes modernes issus de la sémantique géométrique des pythagoriciens
II.7 Autour de la divisibilité
II.7.1 Les nombres premiers
II.7.2 Les nombres parfaits
II.7.3 Les nombres amiables
II.7.4 L'algorithme d'Euclide
II.7.5 Introduction à la méthode structuraliste
II.7.6 Quelques autres problèmes pythagoriciens
II.7.7 Pythagore, Fermat, et autresconjectures

Chapitre III Les nombres entiers

III.1 Faisons le point
III.2 Le poids du symbole dans la représentation
III.3 Construction des entiers par extension fonctionnelle
III.4 Construction des entiers par symétrie
III.5 Les entiers en tant que couples d'entiers naturels
III.6 Commentaire sur la démarche précédente : classer
III.7 Le statut des nombres entiers
III.7.1 Les temps de la découverte : des nombres sans statut
III.7.2 Le temps de l'assimilation : des nombres reconnus
III.7.3 Les interrogations françaises
III.7.4 Les critiques anglaises
III.7.5 Remarques sur les discussions précédentes
III.8 Comparaison des procédés de construction

Chapitre IV Les nombres rationnels

IV.1 Aperçu historique
IV.2 Introduction à la notion de transformation : la multiplication et le point de vue dynamique
IV.3 Construction des rationnels par extension fonctionnelle et ensembliste
IV.4 Représentations numériques des rationnels
IV.5 Diviser pour (essayer de) régner

Chapitre V Des nombres irrationnels à l'infini

V.1 Définitions numérique et algébrique des nombres irrationnels et réels
V.2 Aperçu historique
V.2.1 La période grecque
V.2.2 Les irrationnels en soi, des Califes à la Troisième République
V.2.3 Progrès dans la connaissance des irrationnels algébriques : l'éclat des mathématiques islamiques
V.2.4 Progrès dans la connaissance des irrationnels algébriques : de Fibonacci à Galois
V.2.5 Irrationnels transcendants
V.2.6 Le caractère étrange des irrationnels
V.3 Les nombres et l'infinité mathématique
V.3.1 Les infinis acceptés
V.3.2 Les infinis contestés
V.4 Un concept structurel : l'ordre
V.4.1 La définition du bon ordre
V.4.2 Le cas des réels
V.4.3 Présence de la structure d'ordre dans les objets mathématiques
V.4.4 Ordre et dénombrement
V.5 Quelques aspects de l'évolution des mathématiques
V.5.1 Du fini vers l'infini
V.5.2 Renforcement et affaiblissement des structures
V.5.3 Retour aux réalités temporelles : le nombre et l'ordinateur
V.6 Retour à la géométrie

Chapitre VI Intermède

Chapitre VII Les Nombres Complexes

VII.1 Premiers pas : les nombres étranges de Chuquet-Cardan
VII.2 L'extension de la multiplication et les logarithmes
VII.3 Le rôle joué par la prise en compte des objets en mouvement : la trigonométrie
VII.4 Une controverse utile
VII.4.1 Les controverses et le progrès scientifique
VII.4.2 La résolution par Euler de la controverse Leibniz-Bernoulli
VII.5 Quand les fruits finissent par mûrir
VII.5.1 Un siècle peu éclairé
VII.5.2 Enfin la lumière vint
VII.6 Les nombres complexes de Chuquet-Cardan : le point de vue algébrique
VII.6.1 Un point de vue moderne et le théorème de Girard-Gauss
VII.6.2 Les nombres-classes ou la théorie algébrique de Cauchy
VII.6.3 La théorie algébrique d'Hamilton
VII.7 Les représentations géométriques des nombres complexes
VII.7.1 La représentation classique par le plan réel
VII.7.2 La représentation classique sur la sphère de Riemann. Extension aux surfaces du second degré
VII.7.3 La représentation cylindrique : module et argument
VII.8 Interprétations dynamiques des nombres réels et complexes
VII.8.1 De l'inanimé vers l'animé
VII.8.2 Sémantique des nombres réels positifs, puis quelconques
VII.8.3 Sémantique et représentation matricielle des nombres complexes de Chuquet-Cardan

Chapitre VIII Quelques extensions

VIII.1 Généralités
VIII.2 La théorie de Galois et ses prolongements
VIII.2.1 La théorie de Galois
VIII.2.2 Quelques travaux de l'école allemande
VIII.3 Généralités sur les travaux de l'école anglaise
VIII.4 Hamilton et la structure des espaces vectoriels
VIII.5 Peut-on multiplier entre eux deux vecteurs ? Produit extérieur, produit vectoriel, produit scalaire, produit tensoriel : les apports de Grassmann
VIII.5.1 Le produit extérieur : l'algèbre de Grassmann
VIII.5.2 Le produit vectoriel, sous-produit du produit extérieur
VIII.5.3 Le produit scalaire
VIII.5.4 Le produit tensoriel de Grassmann
VIII.6 Les quaternions ou nombres de Hamilton
VIII.6.1 La voie suivie par Hamilton
VIII.6.2 La remarque de Cayley : représentations matricielles et interprétation géométrique des quaternions
VIII.6.3 Le rotationnel
VIII.6.4 In fine
VIII.7 Les octonions
VIII.8 Les ensembles de nombres précédents en tant qu'algèbres
VIII.9 Les algèbres (des nombres) de Clifford

Chapitre IX Conclusion Qu'est-ce qu'un nombre?

Bibliographie